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Práctica de integración por partes

Instrucciones

Resuelva la integral ​ utilizando la técnica de integración por partes.

Solución

La integración por partes es útil cuando integramos el producto de dos funciones. La técnica consiste en encontrar el patrón ​ en la integral que queremos resolver.

Al asignar ​ y ​ nos conviene asignar ​ a la función más difícil de integrar. Porque en el proceso de integración por partes sólo tenemos que derivar ​, mientras que debemos integrar ​.

En la siguiente lista tenemos los tipos de funciones ordenadas por su dificultad de integración (primero las más difíciles, y al final las más fáciles):

• trigonométricas inversas,

• logarítmicas,

• algebraicas,

• trigonométricas, y

• exponenciales.

La comunidad de estudiantes de matemáticas recuerda esta lista con el acrónimo ILATE.

En la integral ​ está el producto de las funciones ​ y ​. La primera es una función algebraica, y la segunda es exponencial. Y según la lista ILATE, nos conviene elegir ​ para la integración por partes. Y por lo tanto, también nos conviene elegir ​.

Habiendo asignado ​ y ​, ahora procedemos al cálculo de ​ y de ​.

Si ​, entonces la derivada de ​ respecto a ​ es ​. O lo que es lo mismo, el cambio ​ producido por un cambio infinitesimal ​, dividido entre ​ da como resultado ​. Por lo tanto, ​.

Como ​, entonces integrar ambos lados de esta igualdad resulta en otra igualdad que relaciona el valor de ​ y el de ​. Para integrar la expresión ​ echaremos mano de la anti-derivada de las funciones exponenciales mostrada en ​. Y después en ​ encontramos el valor de ​.

Ahora tenemos todos los valores para aplicar la fórmula de integración por partes. Así, en ​, sólo queda resolver la integral que aparece en el último término del lado derecho de la igualdad (​).

Para resolver ​ podemos reciclar el resultado de la integral de ​.

Cuando sustituimos el resultado de ​ en ​, podemos simplificar la resta de fracciones resultante utilizando su común denominador y factorizando ​ por ser un factor común de ambos términos.

Y con ​ terminamos nuestro ejercicio.